По размерности вообще ничего нельзя определить, векторная величина или скалярная.
Вот, например, в английском языке различают два понятия
вектор скорости velocity
скалярную величину speed
оба имеют размерность метры в секунду.
Тот же вес , редко кто говорит в Ньютонах. В основном, норовят в килограммах. А мы помним, что в килограммах измеряется как раз скалярная величина, масса.
И последний пример, даже вот частота (угловая), в Герцах измеряется, и та имеет направление, хотя и не является вектором ( а является псевдовектором). То есть, судить по размерности о том, является ли величина векторной или скалярной очень опрометчиво.
Кроме того, у Вас странное представление о размерности - линейная, квадратная.
А у скорости тогда какая размерность ? А у ускорения ? А у тензора напряжения в твердом теле?
И да, я говорил, что величина может иметь направление и при этом не быть вектором. Индукция магнитного поля, например, не является вектором (псевдовектор), хотя имеет направление. То есть, Ваш последний аргумент тоже неубедителен.